Ensembles finis Exemples

$f (x) = \frac{x}{x - 7}$

Étape 1

Écrivez $f (x) = \frac{x}{x - 7}$ comme une équation.

$y = \frac{x}{x - 7}$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = \frac{y}{y - 7}$

Étape 3

Résolvez $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Multipliez l’équation par $y - 7$ .

$(y - 7) (x) = (\frac{y}{y - 7}) (y - 7)$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$y x - 7 x = (\frac{y}{y - 7}) (y - 7)$

Étape 3.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1

Annulez le facteur commun de $y - 7$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$y x - 7 x = \frac{y}{y - 7} (y - 7)$

Étape 3.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$y x - 7 x = y$

Étape 3.4

Résolvez $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.1

Soustrayez $y$ des deux côtés de l’équation.

$y x - 7 x - y = 0$

Étape 3.4.2

Ajoutez $7 x$ aux deux côtés de l’équation.

$y x - y = 7 x$

Étape 3.4.3

Factorisez $y$ à partir de $y x - y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.3.1

Factorisez $y$ à partir de $y x$ .

$y (x) - y = 7 x$

Étape 3.4.3.2

Factorisez $y$ à partir de $- y$ .

$y (x) + y \cdot - 1 = 7 x$

Étape 3.4.3.3

Factorisez $y$ à partir de $y (x) + y \cdot - 1$ .

$y (x - 1) = 7 x$

Étape 3.4.4

Divisez chaque terme dans $y (x - 1) = 7 x$ par $x - 1$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.4.1

Divisez chaque terme dans $y (x - 1) = 7 x$ par $x - 1$ .

$\frac{y (x - 1)}{x - 1} = \frac{7 x}{x - 1}$

Étape 3.4.4.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.4.2.1

Annulez le facteur commun de $x - 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y (x - 1)}{x - 1} = \frac{7 x}{x - 1}$

Étape 3.4.4.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{7 x}{x - 1}$

Étape 4

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = \frac{7 x}{x - 1}$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \frac{7 x}{x - 1}$ est l’inverse de $f (x) = \frac{x}{x - 7}$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} (\frac{x}{x - 7})$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 7}) = \frac{7 (\frac{x}{x - 7})}{(\frac{x}{x - 7}) - 1}$

Étape 5.2.3

Associez $7$ et $\frac{x}{x - 7}$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 7}) = \frac{\frac{7 x}{x - 7}}{\frac{x}{x - 7} - 1}$

Étape 5.2.4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.2.4.1

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x - 7}{x - 7}$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 7}) = \frac{\frac{7 x}{x - 7}}{\frac{x}{x - 7} - 1 \cdot \frac{x - 7}{x - 7}}$

Étape 5.2.4.2

Associez $- 1$ et $\frac{x - 7}{x - 7}$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 7}) = \frac{\frac{7 x}{x - 7}}{\frac{x}{x - 7} + \frac{- (x - 7)}{x - 7}}$

Étape 5.2.4.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 7}) = \frac{\frac{7 x}{x - 7}}{\frac{x - (x - 7)}{x - 7}}$

Étape 5.2.4.4

Réécrivez $\frac{x - (x - 7)}{x - 7}$ en forme factorisée.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.4.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 7}) = \frac{\frac{7 x}{x - 7}}{\frac{x - x + 7}{x - 7}}$

Étape 5.2.4.4.2

Multipliez $- 1$ par $- 7$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 7}) = \frac{\frac{7 x}{x - 7}}{\frac{x - x + 7}{x - 7}}$

Étape 5.2.4.4.3

Soustrayez $x$ de $x$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 7}) = \frac{\frac{7 x}{x - 7}}{\frac{0 + 7}{x - 7}}$

Étape 5.2.4.4.4

Additionnez $0$ et $7$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 7}) = \frac{\frac{7 x}{x - 7}}{\frac{7}{x - 7}}$

Étape 5.2.5

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 7}) = \frac{7 x}{x - 7} \cdot \frac{x - 7}{7}$

Étape 5.2.6

Annulez le facteur commun de $7$ .

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Étape 5.2.6.1

Factorisez $7$ à partir de $7 x$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 7}) = \frac{7 (x)}{x - 7} \cdot \frac{x - 7}{7}$

Étape 5.2.6.2

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 7}) = \frac{7 x}{x - 7} \cdot \frac{x - 7}{7}$

Étape 5.2.6.3

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 7}) = \frac{x}{x - 7} \cdot (x - 7)$

Étape 5.2.7

Annulez le facteur commun de $x - 7$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.7.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 7}) = \frac{x}{x - 7} \cdot (x - 7)$

Étape 5.2.7.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 7}) = x$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (\frac{7 x}{x - 1})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\frac{7 x}{x - 1}) = \frac{\frac{7 x}{x - 1}}{(\frac{7 x}{x - 1}) - 7}$

Étape 5.3.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f (\frac{7 x}{x - 1}) = \frac{7 x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{7 x}{x - 1} - 7}$

Étape 5.3.4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.3.4.1

Pour écrire $- 7$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$f (\frac{7 x}{x - 1}) = \frac{7 x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{7 x}{x - 1} - 7 \cdot \frac{x - 1}{x - 1}}$

Étape 5.3.4.2

Associez $- 7$ et $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$f (\frac{7 x}{x - 1}) = \frac{7 x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{7 x}{x - 1} + \frac{- 7 (x - 1)}{x - 1}}$

Étape 5.3.4.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{7 x}{x - 1}) = \frac{7 x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{7 x - 7 (x - 1)}{x - 1}}$

Étape 5.3.4.4

Réécrivez $\frac{7 x - 7 (x - 1)}{x - 1}$ en forme factorisée.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.4.4.1

Factorisez $7$ à partir de $7 x - 7 (x - 1)$ .

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Étape 5.3.4.4.1.1

Factorisez $7$ à partir de $7 x$ .

$f (\frac{7 x}{x - 1}) = \frac{7 x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{7 (x) - 7 (x - 1)}{x - 1}}$

Étape 5.3.4.4.1.2

Factorisez $7$ à partir de $- 7 (x - 1)$ .

$f (\frac{7 x}{x - 1}) = \frac{7 x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{7 (x) + 7 (- (x - 1))}{x - 1}}$

Étape 5.3.4.4.1.3

Factorisez $7$ à partir de $7 (x) + 7 (- (x - 1))$ .

$f (\frac{7 x}{x - 1}) = \frac{7 x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{7 (x - (x - 1))}{x - 1}}$

Étape 5.3.4.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{7 x}{x - 1}) = \frac{7 x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{7 (x - x + 1)}{x - 1}}$

Étape 5.3.4.4.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f (\frac{7 x}{x - 1}) = \frac{7 x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{7 (x - x + 1)}{x - 1}}$

Étape 5.3.4.4.4

Soustrayez $x$ de $x$ .

$f (\frac{7 x}{x - 1}) = \frac{7 x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{7 (0 + 1)}{x - 1}}$

Étape 5.3.4.4.5

Additionnez $0$ et $1$ .

$f (\frac{7 x}{x - 1}) = \frac{7 x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{7 \cdot 1}{x - 1}}$

Étape 5.3.4.5

Multipliez $7$ par $1$ .

$f (\frac{7 x}{x - 1}) = \frac{7 x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{7}{x - 1}}$

Étape 5.3.5

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f (\frac{7 x}{x - 1}) = \frac{7 x}{x - 1} \cdot (1 (\frac{x - 1}{7}))$

Étape 5.3.6

Multipliez $\frac{x - 1}{7}$ par $1$ .

$f (\frac{7 x}{x - 1}) = \frac{7 x}{x - 1} \cdot \frac{x - 1}{7}$

Étape 5.3.7

Annulez le facteur commun de $7$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.7.1

Factorisez $7$ à partir de $7 x$ .

$f (\frac{7 x}{x - 1}) = \frac{7 (x)}{x - 1} \cdot \frac{x - 1}{7}$

Étape 5.3.7.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{7 x}{x - 1}) = \frac{7 x}{x - 1} \cdot \frac{x - 1}{7}$

Étape 5.3.7.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{7 x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot (x - 1)$

Étape 5.3.8

Annulez le facteur commun de $x - 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.8.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{7 x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot (x - 1)$

Étape 5.3.8.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{7 x}{x - 1}) = x$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \frac{7 x}{x - 1}$ est l’inverse de $f (x) = \frac{x}{x - 7}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{7 x}{x - 1}$